变焦离轴四反学习笔记

一阶参数计算

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对于一阶参数计算，其各参数符号规则与同轴反射式相同。

ABCD矩阵

近轴光线传输理论中，高度与角度公式可以写为：

\begin{cases}\tag{1}\label{eqn1} y'=y + \dfrac{t}{n'}n'u'\\ n'u'=nu-y\phi \end{cases}

根据\eqref{eqn-1}进行光线追迹，便可以得到近轴像面信息。

\tag{2}\label{eqn-2} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{cases} a_{11}x+a_{12}y\\ a_{21}x+a_{22}y \end{cases}

根据矩阵运算基本原理\eqref{eqn-2}，可以将近轴光线追迹公式\eqref{eqn-1}写成矩阵的形式。

其中y+tn′n′u′=y+tn′(nu−yϕ)=tn′nu+(1−tn′ϕ)yy+\dfrac{t}{n'}n'u'=y+\dfrac{t}{n'}(nu-y\phi)=\dfrac{t}{n'}nu+(1-\dfrac{t}{n'}\phi)y,所以\eqref{eqn-1}可以写为

\begin{cases}\tag{3}\label{eqn-3} y'&=(1-\dfrac{t}{n'}\phi)y+\dfrac{t}{n'}nu\\ n'u'&=-\phi y +nu \end{cases}

根据对应关系，\eqref{eqn-2}中的[xy]\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}对应\eqref{eqn1}中的[ynu]\begin{bmatrix} y\\nu\end{bmatrix}，而[a11a12a21a22]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}对应[1−tn′ϕtn′−ϕ1]\begin{bmatrix} 1-\dfrac{t}{n'}\phi & \dfrac{t}{n'}\\ -\phi & 1\end{bmatrix}，这个矩阵可以展开为[1tn′01][10−ϕ1]\begin{bmatrix}1 & \dfrac{t}{n'}\\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0\\-\phi & 1 \end{bmatrix}

在矩阵传输理论中，规定：

传输矩阵 $$T_j=\begin{bmatrix} 1 & \dfrac{t_j}{n’_j} \0 & 1 \end{bmatrix}$$，其中tjt_j为第jj面到第j+1j+1面的距离，nj′n'_j为第jj面到第j+1j+1面的折射率。

折射矩阵Rj=[10−ϕj1]R_j = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\-\phi_j & 1 \end{bmatrix}，其中ϕj\phi_j是第jj面的屈光度，表达式为ϕj=nj′−njRj\phi_j=\dfrac{n'_j-n_j}{R_j}。

近轴光线Pj=[yjnjuj]P_j=\begin{bmatrix} y_j \\n_ju_j \end{bmatrix}，其中jj表示折射面序数。

若一个光学系统有k个折射面加一个物面，完整表达整个系统需要k个折射矩阵与k个传输矩阵。

M=RkTk−1Rk−1Tk−2…T1R1T0M=R_k T_{k-1} R_{k-1} T_{k-2} \ldots T_1 R_1 T_0

最后得到M=[ABCD]M = \begin{bmatrix} A & B\\C & D \end{bmatrix}。

近轴光线追迹

前面提到了可以用矩阵的形式表示近轴光线，近轴光线Pj=[yjnjuj]P_j=\begin{bmatrix} y_j \\n_ju_j \end{bmatrix}。

如果要在物面（第0面）追迹一条近轴光线，就可以用ABCD矩阵来表示近轴光线在第j面的信息：

\tag{4}\label{eqn-4} \begin{bmatrix} y_j\\ n_ju_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_0\\ n_0u_0 \end{bmatrix}

**是否包含T0T_0**要看使用矩阵的最终目的，或者说从哪个面开始追迹光线，如从物面开始追迹，则ABCD矩阵必须包含（第0面）物到第1面的传递矩阵。

获取像面位置和像高

先从第0面追迹一根轴上光线[00.1]\begin{bmatrix} 0\\0.1\end{bmatrix}，利用M=RkTk−1Rk−1Tk−2…R1T0M=R_k T_{k-1} R_{k-1} T_{k-2} \ldots R_1 T_0得到第k面上的出射光线信息（光线高度和光线角度），然后让光线继续传播，与光轴的交点位置就是像面位置。

然后从物体顶端追迹一条近轴光线[100]\begin{bmatrix} 10\\0\end{bmatrix}，这个时候由于存在第k面到像面的传输过程，因此需要将Tk+1T_{k+1}加入计算过程中，得到M′=Tk+1MM'=T_{k+1}M然后计算PM′PM'，就可以得到像面高度。

获取基点数据（比如有效焦距和后焦）

EFL=−1C       BFL=−AC\text{EFL}=-\dfrac{1}{C} \ \ \ \ \ \ \ BFL=-\dfrac{A}{C}

前焦点 F:nDCF:\dfrac{nD}{C}

后焦点 F′:−n′ACF':-\dfrac{n'A}{C}

前主点 P:n(D−1)CP:\dfrac{n(D-1)}{C}

后主点 P′:n′(1−A)CP':\dfrac{n'(1-A)}{C}

前节点 N:nD−n′CN:\dfrac{nD-n'}{C}

后节点 N’:n−n′ACN’:\dfrac{n-n'A}{C}

前焦距 f:nCf:\dfrac{n}{C}

前焦距 f′:−n′Cf':-\dfrac{n'}{C}

所有“前”基点的位置都是以前顶点 做参照，所有“后”基点的位置都是以后顶点 做参照。与前面两个方法相同。

反射系统近轴光线追迹

近轴光线追迹方程中的$n’u’=nu-y\phi 实际上是由斯涅尔公式实际上是由斯涅尔公式n\sin I - n’\sin{I’}$利用近轴近似条件得来的。

而对于反射系统，一般定义n′=−nn'=-n，也就有ϕ=(n′−n)C=−2nC=−2/R\phi=(n'-n)C=-2nC=-2/R

u′=−u−2yR(5)u'=-u-2\dfrac{y}{R}\tag{5}

所以得到反射系统近轴光线追迹方程

\begin{cases}\tag{6}\label{eqn-6} y'&=(1-\dfrac{2t}{Rn})y-\dfrac{t}{n}nu\\ n'u'&=2\dfrac{y}{R}+nu \end{cases}

根据对应关系，\eqref{eqn-2}中的[xy]\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}对应\eqref{eqn-6}中的[ynu]\begin{bmatrix} y\\nu\end{bmatrix}，而[a11a12a21a22]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}对应[1−2tRn−tn2/R1]\begin{bmatrix} 1-\dfrac{2t}{Rn} & -\dfrac{t}{n}\\ 2/R & 1\end{bmatrix}，这个矩阵可以展开为[1−tn01][10−2R1]\begin{bmatrix}1 & -\dfrac{t}{n}\\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0\\-\dfrac{2}{R} & 1 \end{bmatrix}

于是可以得到反射式系统的传输矩阵和折射矩阵。

传输矩阵Tj=[1−tn01]T_j=\begin{bmatrix}1 & -\dfrac{t}{n}\\0 & 1 \end{bmatrix}

折射矩阵Rj=[10−2R1]R_j=\begin{bmatrix}1 & 0\\-\dfrac{2}{R} & 1 \end{bmatrix}

离轴四反运算规则

对于同轴反射结构的符号结构来说，在CodeV中，由于坐标系发生了改变，因此M2和M4的传输矩阵和折射矩阵的符号（右上角和左下角）要取负值。

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用数学方法表示为 R4∗T3∗R3∗T2∗R2∗T1∗R1R4 *T3 *R3 *T2 *R2 *T1 *R1

M=[10−2/R41][1−t301][102/R31][1t301][10−2/R21][1−t101][102/R11]M= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -2/R_4 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &-t_3\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2/R_3 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &t_3\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -2/R_2 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &-t_1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2/R_1 &1 \end{bmatrix}

Matlab代码为

1
2
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14
clear

distance=[-104,196,-96];
radmm = [2000,-909.6772,337.1422,161.4950];

%R4*T3*R3*T2*R2*T1*R1

var =                      [1,0;-2/radmm(4),1]*...
      [1,-distance(3);0,1]*[1,0; 2/radmm(3),1]*...
      [1, distance(2);0,1]*[1,0;-2/radmm(2),1]*...
      [1,-distance(1);0,1]*[1,0; 2/radmm(1),1] ;

efl = -1/var(2,1)
bfl = -var(1,1)/var(2,1)