文献阅读——Design method of off-axis reflective freeform zoom optical systems

Zhao G, Zhu J. Design method of off-axis reflective freeform zoom optical systems[J]. Optics Express, 2024, 32(16): 28806-28820.

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摘要：

本文提出了一种偏轴反射变焦光学系统的设计方法。该方法可用于设计包含多面镜的离轴变焦光学系统。首先，针对不同变焦位置的离轴球面系统求解，以大致满足不同变焦位置光功率的要求，确保后续计算的收敛。然后，通过逐点迭代自由曲面，修正系统的光功率和像差，从而获得进一步优化的良好起点。为展示该方法的有效性，提供了三个设计示例，包括两套偏轴三镜变焦光学系统和一套离轴四镜变焦光学系统。使用所提方法，可以为这些系统找到良好的起点。优化后，这三种系统的成像质量接近衍射极限。

设计方法

可以分为两部分：

  • 求离轴球面起点
  • 自由曲面优化

在这里实际上只对第一步进行研究。

3.3案例

​ 首先计算系统一阶参数，焦距为100mm，四面反射镜，因此k=4k=4。

​ 系统要求四镜位置保持不动，三镜只能旋转，次镜和像面可以发生移动旋转。

第一步 求解同轴模型

{h1,1=1d1,kh1,k=f1′h1,1h1,1f1′=∑j=1kh1,jφ1,jh1,i+1=h1,i−d1,i(∑j=1ih1,jφ1,j),1≤i≤k−1\begin{cases} h_{1,1}=1\\ \dfrac{d_{1,k}}{h_{1,k}}=\dfrac{f'_{1}}{h_{1,1}}\\ \dfrac{h_{1,1}}{f'_1}=\sum^k_{j=1}h_{1,j}\varphi_{1,j}\\ h_{1,i+1}=h_{1,i}-d_{1,i}\left(\sum_{j=1}^ih_{1,j}\varphi_{1,j}\right),1\le i \le k-1 \end{cases}

对于kk面反射镜的同轴系统，一共有三个参数，分别为kk个hh，kk个φ\varphi，kk个dd。

  • 第一个方程，定义主镜上的光线高度，并进行归一化处理。
  • 第二个方程，d1,kd_{1,k} 是最后一个镜面（第 k个镜面）到像面的距离，利用了相似三角形的关系。在像方，最后一片镜子到像面的光线可以看作是从系统像方主点发出的。这条光线在最后一面镜子上的高度h1,kh_{1,k}h1,kh_{1,k} 与它在像面上的高度（这里其实是焦距 f 对应的光线高度，因为 h1,1=1h_{1,1}=1，h1,1=1h_{1,1}=1对应物方无穷远的入射光线高度为 1）满足比例关系。
  • 第三个方程，是光焦度分配公式。“光线高度加权光焦度和等于系统总光焦度”。
  • 第四个方程，近轴光线追迹方程。

一共有3k3k个未知数，k+2k+2个方程（第一方程1个，第二1个，第三1个，第四有k−1k-1个）。所以自由度为3k−k−2=2k−23k-k-2=2k-2。可以先给定所有镜间距d1,id_{1,i}，自由度变为k−2k-2个。剩余自由度可以自由分配，或者使用平场条件进行约束。

在本案例中，先计算共轴系统，由于只有次镜和像面位置可变化，因此d1−d4d_1-d_4只有两个自由变量。

结合一面透镜的曲率和平场条件

∑i=0k(−1)iφi=0(1)\sum\limits_{i=0}^k (-1)^i\varphi_i=0\tag{1}

可以求出所有参数得到同轴模型。

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第二步 进行离轴处理

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消除遮蔽的过程中有两个要求。

  • 要求 1：为减少系统光功率的变化，镜面中心间距应与同轴系统相同。
  • 要求 2：中央视场的主射线应位于镜子中心，以防止使用偏轴部分导致的过大像差。

根据预期的系统布局，给出了主镜、第三镜和像平面局部坐标系的原点坐标。然后按照下面的方程求解其余参数。

其中，第一个下标代表变焦位置，第二个下标代表镜像数。

先确定无遮拦结构的反射镜中点全局坐标

{(z1,i−z1,i−1)2+(y1,i−y1,i−1)2=d1,i−12(z1,i+1−z1,i)2+(y1,i+1−y1,i)2=d1,i2(2)\begin{cases}\tag{2} (\text z_{1,i}-\text z_{1,i-1})^2+(\text y_{1,i}-\text y_{1,i-1})^2=d^2_{1,i-1}\\ (\text z_{1,i+1}-\text z_{1,i})^2+(\text y_{1,i+1}-\text y_{1,i})^2=d^2_{1,i} \end{cases}

根据要求 1，可以确定离轴系统中每个分量局部坐标系原点之间的距离。因此，在给出一半非相邻分量局部坐标系的原点后，可以确定剩余分量的位置。用于确定镜面位置

已知i−1i-1镜中心坐标Oi−1O_{i-1}和镜片i+1i+1的中心坐标Oi+1O_{i+1}，并且知道相邻两个镜面中心之间的距离：di−1d_{i-1}是Oi−1O_{i-1}与OiO_{i}之间的距离，did_{i}是OiO_{i}与Oi+1O_{i+1}之间的距离。

对于四反结构，需要输入主镜坐标，三镜坐标和像面坐标才可以得到所有坐标。

然后确定每个反射镜倾角

N1,i=O1,i−O1,i−1∣O1,i−O1,i−1∣+O1,i−O1,i+1∣O1,i−O1,i+1∣(3)N_{1,i}=\dfrac{O_{1,i}-O_{1,i-1}}{|O_{1,i}-O_{1,i-1|}}+\dfrac{O_{1,i}-O_{1,i+1}}{|O_{1,i}-O_{1,i+1|}}\tag{3}

α1,i=arctan⁡(m1,in1,i)(4)\alpha_{1,i}=\arctan (\dfrac{m_{1,i}}{n_{1,i}}) \tag{4}

这个其实就是用入射光线和反射光线的单位向量和来确定入射法线方向。

第三步 进行变焦处理

求解其余变焦位置可以分为两部分：

  • 求解同轴系统
  • 进行离轴操作
同轴处理

{hς,1=1dς,khς,k=fς′h1ς,1hς,1fς′=∑j=1khς,jφς,jhς,i+1=hς,i−dς,i(∑j=1ihς,jφς,j),1≤i≤k−1(5)\begin{cases} \tag{5} h_{\varsigma,1}=1\\ \dfrac{d_{\varsigma,k}}{h_{\varsigma,k}}=\dfrac{f'_{\varsigma}}{h_{1\varsigma,1}}\\ \dfrac{h_{\varsigma,1}}{f'_\varsigma}=\sum^k_{j=1}h_{\varsigma,j}\varphi_{\varsigma,j}\\ h_{\varsigma,i+1}=h_{\varsigma,i}-d_{\varsigma,i}\left(\sum_{j=1}^ih_{\varsigma,j}\varphi_{\varsigma,j}\right),1\le i \le k-1 \end{cases}

自由度仍然为3k−k−2=2k−23k-k-2=2k-2，由于变焦不变化曲率，因此所有φ\varphi都已知，自由度变为k−2k-2。需要补充k−2k-2个条件才能得到解。比如：

  • 指定某些镜距dd
  • 要求镜面沿特定位置运动
  • 结合几何约束确定间距