矢量像差理论（NAT）理论推导

旋转对称系统的波前像差

对于旋转对称系统，波前像差的矢量展开可以表示为：

$$\tag{1} \begin{align} W&=W\left[(\vec H \cdot \vec H ),(\vec H \cdot \vec \rho ),(\vec \rho \cdot \vec \rho ) \right] \\ &=\sum_j \sum_p^{\infty} \sum_n^{\infty} \sum_m^{\infty} (W_{klm})_j(\vec H \cdot \vec H )^p(\vec H \cdot \vec \rho )^n(\vec \rho \cdot \vec \rho )^m \end{align}$$

其中$\vec{H} = He^{i\theta}$ ，$\vec{\rho}=\rho e^{i\theta}$分别表示归一化视场场和光瞳矢量，$\theta$分别表示视场矢量与x轴的夹角和光瞳矢量与x轴的夹角。$(W_{klm})_j$表示像差系数。

像差系数存在转换关系：

$$\tag{2} \begin{cases} W_{040}=\frac 1 8 S_Ⅰ\\ W_{131}=\frac 1 2 S_Ⅱ\\ W_{222}=\frac 1 2 S_Ⅲ\\ W_{220}=\frac 1 4( S_Ⅲ+S_Ⅳ)\\ W_{311}=\frac 1 2 S_Ⅴ\\ \end{cases}$$

赛德尔像差可以表示为：

$$\tag{3} \begin{cases} S_Ⅰ=-\sum A^2y\Delta(\frac u n) +a \\ S_Ⅱ=-\sum \bar A A y\Delta(\frac u n) +\frac{\bar y}{y} a \\ S_Ⅲ=-\sum \bar A^2y\Delta(\frac u n) +(\frac{\bar y}{y})^2a \\ S_Ⅳ=-\sum H^2c\Delta(\frac 1 n) \\ S_Ⅴ=-\sum \frac{\bar A^3}{A} y\Delta(\frac u n)+\frac{\bar A}{A}H^2c\Delta(\frac 1 n)+(\frac{\bar y}{y})^3a \\ \end{cases}$$

$a$是常数系数，$A$和$\bar A$是边缘光线和主光线的Snell不变量，$H$表示拉格朗日不变量。y和$\bar y$表示边缘光线和主光线高度，$u$和$\bar u$表示对应的入射角。

非旋转对称系统矢量像差

对非旋转系统引入了向量$\bar \sigma_j$来表示表面$j$的像差场中心偏移矢量，因此波前像差可以改写为：